小杉 拓也 :東大卒算数・数学プロ講師、志進ゼミナール塾長
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算数の「どうして？」に、子どもがわかるよう、説明できますか？（写真：よっし / PIXTA）
小学校6年間で習う算数。大人にとっては簡単な内容のようにも思われがちです。しかし、実際に子どもに教えていると、時にギョッとさせるような鋭い質問を受けることがあります。
たとえば、「0にどんな数をかけても、なぜ0になるの？」という質問に対して、子どもが理解できるように説明することはできますか？
『小学校6年間の算数がマンガでざっと学べる』などの著書をもつプロ算数講師の小杉拓也氏に、「算数の素朴なギモン」について聞きました。
【ギモン1】0に数をかけても割っても0になる理由とは
0には、「空位を表す0」「計算対象としての、数の0」などの意味がありますが、「計算対象としての、数の0」が、インドにおいて発見されたというのはよく知られている話です。
実際、7世紀のインドの数学者ブラーマグプタは、「0にどんな数をかけても0になる」ことを著書で述べています。
「0にどんな数をかけても0になる」ことは小学校で習いますが、「0に数をかけると、なぜ0になるのか」不思議に思う子もいるようです。でも、その質問に答えられないお父さん、お母さんもいるのではないでしょうか。
その理由は簡単な例で説明できます。たとえば、1つ100円のリンゴを3つ買うと、合計金額は100×3＝300円となります。
次に、無料（1つ0円）のリンゴ3つの合計金額を求めてみましょう。リンゴがどれも0円なので、3つの合計金額も0円で、無料となります。「0×3＝0」ということです。
リンゴが3つの場合だけでなく、リンゴがいくつであっても同じことが成り立つので、「0にどんな数をかけても0になる」ことがわかります。
さらに、「0をどんな数で割っても0になる」理由もみておきましょう。
»次ページ 0を数で割ると0になる理由は？
http://toyokeizai.net/articles/-/161094?page=2
»次ページ 算数でいうところの「歩合」とは？
http://toyokeizai.net/articles/-/161094?page=3
説明してもよいが長くなるので語るには寿命が足りない
子供に、0を掛けても0になる理由を答えるのは、自然数の総和（1+2+3+・・・) が-1/12になると答えるのと同じくらい難しいだろう。
因数分解どうするの？
階差数列は？
そう定義するのは構わないけど、それで矛盾のない積算の系が作れるのかい？
それだと結合法則使えなくなるけど、構わないの？
φ 1 2 3 4 5 6 7 8
9 11 12 13 14 15 16 17 18
19 21 22・・・
9がゼロのある位のような役割となる。
9+1=11
9×2=19
9-9=φ
なぜゼロを掛けるとゼロなのか。
それは乗算において群とするのに、単位元φが必要だから。φが10進数におけるゼロとなる。
>>948にも書いたとおり、万能な代数系があると主張したいわけじゃないよ。
むしろその逆。
交換法則やら結合法則やらを満たさない代数系もすでに知られているでしょ。
中学や高校では学ばないとしても。
代数系は所詮は人為的かつ「選択的」なモデルであって、
そこを強調したいだけ。
それゆえに虚数という概念が必要になっただけの話であって、
虚数なるものにそんなに神秘的な意味などないということだよ。
難しくもなんともない。
単なる恣意的なモデルでしかないものに普遍性を見ようとするから
虚数なる概念が必要になっただけだということ。
どこで教育を受けたんですか？
簡単にいえば、そういう0みたいなのがあると便利だからだよ
いや、単に方程式の解があるように数を拡大していったら虚数が出て来たんだよ。
記号をどう書くかはともかく、
代数構造に選択の自由なんてないよ。
あるのは実用性とそれに基づく必然のみ。
あと、例としてあげていた系は積演算が群になってないから
可換非可換関係なく扱いにくい系になるよ。
ニートが何十年生きても職歴が無いのと一緒。
aを任意の実数とする。
a×0=bとなる実数bがあるとする。
b=a×0=a×(0+0)=a×0+a×0=b+b
両辺からbを引くとb=0になる。
よってどんな実数に0を掛けても0になる。
何もないものを分けても何もない。
これで証明終わり
小学生には、>>697の教え方でいいと思う。
小学生では、全部の数について証明するのは無理だし、感覚的にとらえた方がいい。
０を割る方は、割り算の概念が学年ごとに違うから一概には言えないな。
だいたい、筆算で割り算をさせるときに、残りが０になったら終わると無条件で
教えているわけだし...。
いいや、虚数は選択的なものだよ。
虚数が実在するとかしないとかいう話は公理を絶対とする誤謬が招いたもの。
a / 0 = 無限大
b < 0
a / b = 負数
負数は無限大よりも大きい？
bをaで割った答えの数xというのは、a×x=bを成り立たせるxのことだ。
すなわち、x=b÷a=b/aだ。a=0として、bをa=0で割ることを考える。
その答えは、0×x=bを成り立たせるxのことになる。
ところが、どんな数xに0を掛けても答えは0になる。
ある数xに0を掛けるとb≠0になるようなxはないのだ。
つまり、b÷0=b/0は、数としては存在しない。
またb=0という特別な場合なら、0×x=0はどんな数xに対しても成り立つ。
つまり、b=0という特別な場合には、答えは一つに定まらない。
0で割った答えは、数として存在しないか、特別な場合には一つに定まらないかのいずれかだ。
これが0で割ることを考えない理由だ。
言い方を換えれば、0で割った答えを何らかの数としたら、他の計算に矛盾が生じるのだ。
そこで割り算では、0で割った答えに何らかの数を対応付けすることを排除しているのだ。
虚数便利じゃない、exp(-iθ)=cosθ- i sinθ
で計算がどれだけ楽になるか。
∞は数じゃないよ。∞＋1はいくつ？
また集合というのは、意味が確定したものの集まりということ。
つまり、数学で存在するというのは、正確に考えることができるということに他ならない。
観測できるとか、実験で確認されているとか、そういうことは関係ない。
頭の中で矛盾なく考えられればいい。だから、実在するとは言わず、存在すると言うのだろう。
虚数が存在しないと考える人は、自然数1も存在しないと考えているのだろうか。
自然数1も存在しないと考えるのなら、虚数iも存在しないでもかまわないと思う。
その人は存在の意味を、数学で遣われている意味と違った意味で遣っているというだけだから。
しかし、自然数1が存在すると考えていながら、虚数iが存在しないと考えている人はどうかしている。
その人は、今まで存在の意味を考えたことがないから、自分で自分が何を言っているのか認識していないのだと思う。
x^2+1=0
(x+i)(x-i)=0
x=i,-i
答えを入れるﾒﾓﾘｰに最初に0を入れておく。2×3は2を3回足す。2×0は2を0回足す、または0を2回足す、だから答えも0。
割り算も引き算のﾙｰﾌﾟ。例えば100÷7は何回7を引けるかで商と剰余を決める。100÷0は0を何回引いても永久ﾙｰﾌﾟで、強いて答えを作るなら近似値としての無限大しかない
グラフ書けばいい
ゼロ掛けたらゼロには掛け算の法則（ルール）が明らかに分かる
それは計算機に計算させるためのテクニックであって数学ではないよ。
にもかかわらず、その間に何か深い関係を持たせたがる言説が
数学の名において流布されています。それは罪深いことです。
数学的にタイムマシンが発明可能だとしても
それは物理的な実在とは関係がありません。
集合論的に言えば、集合に含める要素を増やしてきたと言うことだろ。
虚数の概念が便利で、これまでの論理に合うのなら、数の範囲を増やしてもいいと言うだけの話。
でも、物理学者が概念を導入して、数学の概念や記号になったものはたくさんあるし、
ポアンカレ仮説みたいに、アプローチの変更になったものはたくさんある。
増やしてきたという感傷的な表現は数学では無意味だ。
矛盾なく考えられるものを使っているだけ。
Windows10の関数電卓に0÷0＝と入力すると
「結果が定義されていません」と表示される
↓
(1 x n) - n = 0
↓
0 x n = 0
これで合ってる？エロイ人
虚数が存在しないと考えたのは歴史上の数学者たちだった。
ニュートンですらそうだったのではなかったかな。
公理主義、形式主義が確定するまではそういう議論が続いた。
しかし虚数が実在しないというのはおかしい。
単に負×負＝正と約束したがためにそうなっているだけなのに。
というときの=は、1+1=2というときの=と同じ意味？
例えばこんな記法があったとして
1 lim≒ 0.99999999.....
じゃなくて？
x=0.999999999.....として
10x=9.9999999......だろ。
引き算すると、9x=9 ⇒ x=1なのよ。
人間が理解・納得するための一つの手段だからね。
>>1は小学生の話だが、小学生が理解するのと、数学者が証明するのとは
だいぶ違う。
シュレディンガー方程式は2回の偏微分方程式だが、特性方程式を見ると、
楕円型に分類されて、複素関数でしかなくなる。
ヒント
（−１）÷（−１）＝１
−１の中に−１が一個であってる‥
次スレ続ける？