【名＆福＆札】これぐらいでいいんだな〜街って

1 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2015/03/26(木) 16:21:11.12 ID:lO/MXvF/.net

マツコ・デラックス絶賛!!「福岡、札幌、名古屋はいい街」
https://www.youtube.com/watch?v=LPwfCB8vHC4

525 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/08(金) 00:46:58.92 ID:SWrz24Um.net

今年の北海道公立高入試、割とやさしい。

北海道の公立入試は各教科６０点満点であり、５教科でも３００点満点だ。
北海道はまだ雪の影響を受ける必要もあるなか、広大な学区から受験生が会場に移動する。
その間、試験会場である高校も休みにする必要がある。
入試を１日で終わらせ、かつ、試験時間を短くする必要もある。採点作業も楽になる。

というか、公立は内申も大きな意味を持つ。
内申は１，２年の９教科の５段階合計をそれそれ２倍、３年の９教科合計を３倍、合計３１５点満点になる。
また、１３段階に格付けされ、３者面談での志望校の判断にも使われる。
点数の高いものから順にA,B,C・・・のようになる。たとえば、オール４の子なら「Dランク」などといわれる。
ある意味、現代の北海道の方言だ。
道内大手塾などでも、この内申のランクと道学コンやABCテストなどの模擬試験の相関表が配布される。
実質的な足切りというか、一次審査になってしまってる。入試は比較的学力の近いもの同士の勝負になる。

中学の定期テストや普段の授業も入試の一部ということになる。
札幌は基本定期テスト重視な方だ。４と５の生徒の差別化するために定期テストの一部に
公立入試以上の問題が出ることもある。

526 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/08(金) 01:05:18.73 ID:SWrz24Um.net

北海道の入試数学はまんべんなく出題される傾向がある。
小問１題で３点が基本だ。応用問題は配点が高い。60点満点なので20問弱ある、
この中からまんべんなく出題される傾向がある。

昔から図形がらみの問題が多い傾向がある。
十八番状態の「関数と図形」の融合のほか、図形と確率、図形と方程式といった
分野をまたいだ融合問題も出題される。

今年はわりと他分野と絡めやすい空間図形と円周角の問題がない。
これでも、図形がらみの問題の割合が少ないほう。

ただ、ここ数年、整数問題、統計分野が少し重視されている。
ここは、全国学テやその先の高校でも重視されてきている分野だ。
今年の魔方陣に関する問題はわりとなじみはあるだろう。
ただ、近年、問題文自体の文章量も増加傾向にある。

527 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/08(金) 01:17:01.04 ID:SWrz24Um.net

進学校で採用されている「学校裁量問題」という、北海道で導入された制度である。
国語・数学・英語の大問のうち各1題を、応用的な問題に差し替えて出題することで、
差が付きにくい受験生の本当の学力をみるもの。高校独自の問題ではない。

数学はこれまで小問３問構成だ。それらの小問の中でもさらに（１）のように問題がある。（１）は易しい問題だ。
今年は２問構成だが、どちら小問自体が易しく、（１）の問題は基本すぎる問題だ。

裁量問題で統計分野がでてくるのは初、しかも、文章記述の問いがある。

統計分野の問題は、知識がなくても、表題から題意を読み取ることができるので解答できる。
（度数×階級値）と書いてくれてる。個々のデータがないのでこれが平均を求めるのに使うことがわかってくる。
文章記述も５段階の５とはいわなくとも４以上の子ならできているべきだ。現役の受験生ならなおさら。

528 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/08(金) 01:17:35.10 ID:SWrz24Um.net

図形と関数の融合問題では、（１）の線分の長さの問題は基本だ。
進学校向けにだす問題なのだろうか？
数学が好きとか得意な子だったら、問題を読み終えて１秒以内でわかるいいだろう。
y=１２/５xで、この直線上のある定点がx=5のときのこの定点から原点までの距離ということだ。
つまり、縦が１２、横が５の直角三角形の斜辺の長さは？ってことになる。
特別な直角三角形の辺の比は問題演習を通して、受験生どころか学生までなら瞬間的にでてくるだろう。
この場合は、3辺が全て整数比になる５：１２；１３を使う。

ある線分に垂直な直線の方程式を求める問題があった。
直線の方程式の垂直条件は高校内容だが、回転移動の概念は学習している、
ある点を定めて原点を基準として、反時計回りに９０度回転移動させるといい。
原点からのX,Yの距離がが反転していて、原点とこの定点を通る直線の傾きの符号が逆、
つまり、直線の傾きが逆数になることが見えてくる。
ちなみに、高校数学�Uの直線の方程式ででてくる垂直条件は三平方の定理や三角形の相似と
いった中学知識で証明できる。

529 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/08(金) 01:28:20.26 ID:SWrz24Um.net

かつては、数学の裁量対策は「解かない」こととも言われていた。

入試においても、できるはずの問題を落とさないことが重要だ。
正答率１％未満も問題でも、配点は５点にしかならない。
この問題に時間をかけて完璧な解答を書いても、たったの５点にしかならない。
基本問題２問分のほうが、遥かに楽に高得点になる。基本問題２問ケアレスミスしたら意味ない。

裁量対策は少なくとも半分は取りに行こう。
最近は、得意な子というか、それに満たなくとも４以上ならできる問題も複数ある。

ライバルとの差をつけるには、裁量問題の後半部分だ。途中過程を書かせる問題なら
完答できなかったとしても部分点をとる。関数、図形など頻出分野を中心にやや難しめの問題になれることか。

530 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/08(金) 01:28:37.84 ID:SWrz24Um.net

幾何学の問題を解析学的に解く。 代数的計算によって幾何学の問題を処理する問題は高校数学では十八番だ。

余力があれば、兄姉とか先輩などから高校数学の教科書を借りて読むなり、問題をやってみる。
たとえば、数学�Uの直線と方程式を見るといい基本だけでいい。
チャート式の問題とかは、他教科も余力がある数学好きならやればいいと思う。

高校の定期試験やその対策でも、記述できる能力をつけるチャンスだ。
模試やその先の大学受験の２次記述において図形問題に出会ったときは、
三角比・幾何・ベクトル・座標平面・複素数平面のうち、どの方法で解くかを選択する。

座標平面で解くという選択肢は、計算が面倒になるために最後の選択肢となることが多い。
その反面、座標平面による解法は、ひらめきや工夫などを必要とせずに、ごり押しで答えまでたどり着ける。

座標平面で解く分野の理解を助けるというかベクトルがある。

531 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/08(金) 01:49:07.45 ID:SWrz24Um.net

垂直な直線の傾きは異符号の逆数になる。
直線の傾きがｍ、これに垂直な直線の傾きがｍ´　ｍ×ｍ´＝−１

高校数学では、通る一点が指定される場合の公式などもある。
一般形の直線の垂直条件は、場合分けや傾きの条件に帰着させて証明できるが、
法線ベクトルの考え方は重要になってくる。

直線の方程式が絡んだより複雑な問題では「傾きと切片」と「法線ベクトル」
両方使えたほうが見通しがよくなってくる。
法線ベクトルの考え方を用いると、3次元の空間座標における平面の方程式が導かれる。

532 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/08(金) 03:33:54.50 ID:gOI/tLP4.net

今年の場合は、円柱の体積問題が空間図形になるのかなぁ。
裁量側にも入ってる問題だ。三平方や相似などのからみは一切なし。

体積と半径がわかっていて、そこから高さをだす。
計算が楽な方になる。中学以上は計算過程で円周率としてπを使える。
今回の問題は3だろうが3.14と書こうが、といっても約分で消える。
計算過程を記述する必要がない問題なので、指示はされない。

柱状の体積は、小６算数の問題で中学の空間図形の分野ではない。
ただ、中学の空間図形でも、立体の体積や表面積を総合してやる。

533 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/09(土) 02:44:08.27 ID:g/kp5nEY.net

裁量の問題、実際にやってみた。
図形と関数の融合問題の（２）DCぢゃなく、OCを通る直線の方程式だよね。

座標平面で解くという選択肢は、計算が面倒になるため、幾何学的アプローチで解くのがいい。
座標平面による解析学的解法は、幾何学的解法ではひらめきや解法の試行錯誤が必要な問題でつかう。

OCの直線の式をだすには、比例定数を求める。このためにはCの座標を求める必要がある。
そのために与えてくれている、AD=3の活用を考える。
ADの情報をからCに誘導するために、補助線を引いてみる。

相似な図形が2組あるとこに気づかない？てあたりをつける。
そこから、ACの長さを計算できる。ABが既知であることから、AB-ACでCのｙ座標が一意に定まるよね。
△ABO∽△ADCであることを証明する。（この問題は答えのみを書く、過程いらないからカットしてよい、相似の章でよくある形状）

534 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/09(土) 02:44:30.54 ID:g/kp5nEY.net

あとは、対応する辺同士で比例式を立てて、AB-ACからCのｙ座標を計算する。
これは、ｘ＝５の時の値なので1/5倍する。ｙ＝aｘからa=y/x、xが１あたりyはどんだけ増える？ってこと。
この値をｙ＝aｘのaに代入する。

ちなみに、相似を証明する場合、このパターンは一組の角が等しいことを見つけるだけでよい。
どの三角形でも内角の和は180度で一定であるので、2組の角が等しいことがわかるとよい。
三角形の相似条件にある。そのうち一組はピタリ重なっている。もう一組は仮定で2つの角とも直角と示されてる。
証明記述する場合は、相似条件と合致させる必要がある。2組記述して、2組の角がそれぞれ等しいので相似だと示す。
ピタリ重なる一組は〇〇〇は共通と書いておく。

535 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/09(土) 03:20:32.57 ID:g/kp5nEY.net

ちなみに、相似を証明する場合、どの三角形でも内角の和は180度で一定であるので、
三角形の相似条件にある。2組の角が等しいことがわかるとよい。

このパターンは等しい一組の角を探すだけでよい。すでに一組はピタリ重なっている。
探すといっても、もう一組は、問題文に仮定で2つの角とも直角と示されてる。

証明記述する場合は、相似条件と合致させる必要がある。
2組記述して、2組の角がそれぞれ等しいので相似だと示す。 ピタリ重なる一組は〇〇〇は共通と書いておく。

536 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/09(土) 03:47:48.37 ID:g/kp5nEY.net

証明問題は、標準と裁量（進学校向け）共通問題だ。ここも正答率は低い。
合同の証明の典型的パターン３つの条件のうち1つを用いる。この条件を満たす３つの等しい要素を探す。
ttp://uicc1070.main.jp/com/sankakushoumei/

北海道の高校入試における合同の証明の典型的パターンだ。
３つの等しい要素における組み合わせパターン
�@　問題文の中に記載されている。（これを示すと1点）
　　ex：「・・・AB=CDとするとき、・・・」
　　　仮定より　AB=CD　※問題文から書き抜きするだけ考察不要　

�A　定理などから直接示せる。　（これを示すと1点）
　　ex：「AB=ACである△ABC・・・」　△ABCはAB=ACである二等辺三角形であり、底角が等しいので、∠ABC=∠ACB　
　　※単に〇＝△だけでなく、等しいといえる根拠を簡潔に示す　

�B　定理や仮定などから間接的に示せる。　（これを示すと2点、途中式だけでも1点）
　　※三段論法を使う（3段or4段で示せる場合が多く、多項式になる場合が多い)
　　　三段論法：AB=BC　BC=CD　よって、AB=CD
　 「…の図において、△ABCと△CDEはともに正三角形である。このとき△BCD≡△ACEを証明せよ」
　 ∠BCD=∠BCA+∠ACD・・・�@　　∠ACE=∠DCE+∠ACD・・・�A
　　正三角形の１つの内角より、∠BCA=∠DCE=60°・・・�B
　　�@、�A、�Bより∠BCD=∠ACE・・・�C、 ここまでで1つの要素となる。

537 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/09(土) 04:08:00.43 ID:g/kp5nEY.net

今年は、見事にこのパターンだ。5点だが部分点がある。標準的な問題。

�@　仮定から書き抜き、�A二等辺三角形を探し、底角が等しいことを利用する。
�B　まず垂線と平行線の錯角の関係から直角を示す。
　　そして、2つの三角形のある対応する角が直角になることを示す。
　　これらの直角同士から、2つの三角形に共通する部分の角を引くことで、
　　ある対応する角が等しいことを示す。
�@〜�Bより、「一組の辺とその両端にある角が等しい」という条件から合同の証明ができる。

538 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/09(土) 04:08:08.69 ID:g/kp5nEY.net

合同の証明を学ぶときの合同条件を習う前から、
小学校で定規とコンパス、分度器を使って三角形の作図しているとは思う。
問題文に書いてある指示にしたがって、それを満たすものを描いていただろう。
答えが一意に定まるように条件設定する。つまり、みんなが同じ三角形が描けるようにしている。

また、「1組の辺と2組の角がそれぞれ等しい」という条件に当てはまる2つの三角形があった
としても、合同だとは言えない。

ちな、かつての二角夾辺相等って「角の間の辺」という表現になる。角の中にある辺があるわけではない。
角の頂点間の線分を示しているので「２組の角とその間の辺がそれぞれ等しい」という表現は減点対象になる。
これと別な合同条件にある「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」はおけ。

539 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/16(土) 12:05:22.00 ID:S5j1QtfX.net

高校数学の整数問題について、

まず、中学数学の数と式の問題から考えてみる。
a+b=7、ab=10のとき、a²+b²はいくつ？

a,bの和と積のそれぞれの式を連立させて、各々の値をだして代入する。
というよりは、(a+b)²の乗法公式を変形させて、a²+b²=(a+b)²-2ab
このa²+b²の式にa+bやabの値を代入して出せるね。

540 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/16(土) 12:06:47.42 ID:S5j1QtfX.net

高校数学の整数問題について、

まず、中学数学の数と式の問題から考えてみる。
a+b=7、ab=10のとき、a^2+b^2はいくつ？

a,bの和と積のそれぞれの式を連立させて、各々の値をだして代入する。
というよりは、(a+b)^2の乗法公式を変形させて、a^2+b^2=(a+b)^2-2ab
このa^2+b^2の式にa+bやabの値を代入して出せるね。

541 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/16(土) 12:23:11.79 ID:S5j1QtfX.net

a,bを整数とする。a+b=7、a-b=3のとき、a^2-b^2はいくつ？

まぁ、連立以前に、aからbを足すと7、引くと3の時点で、ｂは(7-3)/2=2、
a=7と3の中間の5だってわかる。
この場合は、イチイチaやらｂやらを求めずに、a^2-b^2の因数分解の式を使って
変形して代入したほうがいいね。

542 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/16(土) 12:25:32.70 ID:S5j1QtfX.net

少し脱線する。飛ばしてよんで（じゃあかくなよ）

ちなみに、積分で曲線で囲まれる部分の面積を求める、1/6公式がある。
わざわざ上下両方の境界の式を求めて、両方の式の引き算で積分するしないよね。
数�Uの積分なら負担は少ないが、平行移動の手法を使い基準を変える。

たとえば、3次関数と放物線で囲まれた部分の面積を求める計算量も大きく減らすこともできる。

置換積分や部分積分は高校数学の中でも最も計算ミスが多発するところだ。

543 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/16(土) 12:45:16.71 ID:S5j1QtfX.net

某大学の入試問題の例、
a,bを整数とする。a^3-b^3=65である。これを満たす整数a,bの組みをすべて求めよ。

因数分解の公式より、a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)=65

ここで、a^2+ab+b^2=(a+1/2b)^2+(3/4)b^2≧0
a-b=A、a^2+ab+b^2=BとおくとAB=65(0＜A＜B）となる
整数A,Bの組み合わせを考えればよい。

65は５と13という素数の積に分解でき、かつ1が入るパターンを考える。
２つの整数をかけて65になる2つの整数の組は8通りあるが、負の数はないので半分の4とおりになる。
即ち(a-b,a^2+ab+b^2)=(1,65),(5,13)とそのa,b反転パターンだ。

以下の�@、�Aの場合に分けて考える

�@　(A,B)=(1,65)のとき
a-b=1より、a=b+1と示せる
(b+1)^2+(b+1)b+b^2=65　3b^2+3b-64=0　
よって、b=(-3±√777)/6で、これでは、整数にならないので不適

�A　(A,B)=(5,13)のとき　　
a-b=5より、a=b+5と示せる
a^2+ab+b^2=13　　(b+5)^2+(b+5)b+b^2=13
3b^2+15b+12=0　　b^2+5b+4=0　　(b+4)(b+1)=0
このとき、b=-4,-1　a=1,4　　よって、(a,b)=(1,-4),(4,-1)

544 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/16(土) 13:11:10.80 ID:S5j1QtfX.net

「整数問題」は数学における一種の総合問題である。
整数問題の面倒な点は「どの方法を使えばよいのかわかりにくい」という。
だからこそ、公式一辺倒では解けない問題を出してくる。

しかし整数にも次のような特徴があり、これらを利用して解く。
● とびとびの値をとる
● 素因数の積に分解できる⇒約数・倍数の関係を利用する
● 余りで分類できる

545 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/16(土) 20:31:41.58 ID:S5j1QtfX.net

整数問題を解くには整数特有の性質に着目することが多く、
その性質を知っているかどうかが正解へのカギとなる。

中学の整数問題はやさしい。
√(45ｎ)の値が自然数になる最小の自然数ｎの値を求めなさい。
素因数分解して、a^2×ｂの形にしてｂを答えるといいわけだ。

とくに北海道の公立入試は穴埋め形式になっている。
そのわけを説明しなさい。っていっても解法が既に記載されている。

たとえば、穴埋め形式の問題を作るとすれば、
連続する３つの整数の和は、３の倍数になる。そのわけを説明しなさい。
真ん中の数をｎとおいて、連続する３つの整数のうち最小の数は（　ア　）。
最大の数は（　イ　）、これらの数の和は（　ア　）＋ｎ＋（　イ　）＝（　ウ　）
ｎは整数なので、（　ウ　）は３の倍数となる。

546 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/16(土) 20:32:53.94 ID:S5j1QtfX.net

解法が一意に定まるように誘導されている。
素直にある条件の数をｎを使った表現をして、誘導のとおり計算するだけだ。

実際の入試だと、カレンダーだったり、魔法陣だったりそれなりのネタにはなってる。
誘導するほどの問題ではないと思う、計算しやすいようにｎを設定して、
示したい条件下のものを計算するだけ。
逆に完全記述のほうが、自分で設定できる方が自由が利くし、正答率が低くなる分
稼ぎやすくはなるって思う人もいるだろう。業者テストとかなら完全記述の問題も出る。

まぁ、北海道の場合、図形の証明の方は完全記述式だ。

547 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/16(土) 20:33:28.54 ID:S5j1QtfX.net

大学入試などの整数問題は次の10パターンに分類できる。
［1］不定方程式や不等式　　整数という条件を適用して因数分解・素因数分解などを利用して解く。
［2］ユークリッドの互除法と2元1次不定方程式
［3］桁ごとの数を未知数とおいて求める
［4］剰余類を利用して解く
［5］約数の数と合計の問題
［6］新記号問題としての整数問題
［7］約数・倍数・素数
［8］隣り合う整数は「互いに素」
［9］整数多項式の割り算
［10］数学的帰納法・背理法を使って証明する
正面切って解けない整数nの絡んだ問題はこれで解く。
有理数・無理数の問題など、整数ではない問題は背理法を使って証明する。

548 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/16(土) 20:48:42.73 ID:S5j1QtfX.net

整数自体は、小学生のときから慣れ親しんできたものである。
よって、問題文のみならば、小学生でも理解できるものが少なくない。

ところが、実際に問題を解こうとすると、案外難しいことに気付かされる。
整数問題が指導要領に載り、教科書で扱われるのは2012年以降である。
ユークリッドの互除法と2元1次不定方程式などが扱われる。

だが、旧課程のころから整数問題が難関大学を中心に頻出の分野だった。
京大や一橋などではほぼ毎年出題されている。

難しさの1つは、整数問題に対してのアプローチが他分野とは大きく異なり、独特であるものが多いことである。
整数問題は他分野とは独立しており、多角的な理解が難しいのである。

変な受験テクニックや解法パターンの暗記に頼ることなく、本質をじっくり考えてもらおう、
というのが大学側の意図するところでしょう。

549 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/21(木) 00:25:24.44 ID:s4g30Du9.net

一般に連続するk個の整数の積 はK!の倍数であることを証明せよ。

確率導出などで利用する。場合の数出てくる、コンビネーションの定義式から
証明が可能ではある。

ここでは、二項係数と数学的帰納法を用いる方法で示す。(Cはコンビネーションとする)

mCn が整数であることを m に関する帰納法で示す。
m=1 のときは自明。また，n=m の場合　mCm=1である。
m=k のときkCn(n=0,1,2,⋯,k) が整数だと仮定すると、、k+1Cn=kCn+kCn−1 も整数。

550 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/21(木) 00:26:00.09 ID:s4g30Du9.net

n+k−1Cn−1が整数である事を証明する。

正の整数nと整数k(0≦k≦n)に対してnCkは正の整数であることを利用する。
n=0,1のときは0C0=1, 1C0=1, 1C1=1。

ここで、n=mで成立すると仮定する。
すべてのkに対し、0≦k≦mを満たすmCkが整数であるとき、
0≦k≦m+1を満たす、m+1Ckが整数であることを示す。

k=0,m+1のとき　m+1C0=m+1Cm+1=1より整数。
1≦k≦mのとき　パスカルの三角形の性質から、m+1Ck=mCk-1+mCkより帰納法の仮定から整数となる。

よって、n=m+1のときも成り立つ。したがって、すべてのn,kに対して、nCkは整数である。

551 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/21(木) 01:23:27.47 ID:s4g30Du9.net

中学数学の数と式の問題で考えてみる。
a+b=k、ab=mのとき、a^2+b^2はいくつ？

基本的に、(a+b)^2の乗法公式を変形させて、a^2+b^2=(a+b)^2-2ab
このa^2+b^2の式にa+bやabの値を代入して出せるね。

a,bの和と積のそれぞれの式を連立させて、各々の値をだして代入してはやらない。
ただ、因数分解する際に、a+b=k、ab=mの各々の値をだすことはやっている。
因数分解できない場合ならどうよ？

552 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/21(木) 01:42:32.95 ID:s4g30Du9.net

k＝ー４８、m=４３２ならどう？因数分解は可能だ。

平方完成を使って因数分解する。二次方程式の解を求めるときにつかうやつ。
ｘ^2ー４８ｘ＋４３２＝(ｘ−２４)^2＋４３２ー２４^2
＝(ｘ−２４)^2＋１４４　
　　　　　　　　　　 =(ｘ−２４)^2＋１２^2
　　　　　　　　　　 =(ｘ−２４＋１２)(ｘ−２４ー１２)
　　　　　　　　　　 =(ｘ−１２)(ｘ−３６)

ちな、ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝０を平方完成していくと解の公式ができる。
また、ニ次関数の頂点を求めたり、円の方程式で一般形から中心の座標の求めるなどで使う。

＜平方完成＞
�@　xを含む項だけ、ｘ^2の係数でくくる
�A　xの係数を半分にして、2乗を足し引きする
�B　因数分解する　�C　分配法則を用いる　�D　定数項を計算する

553 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/21(木) 01:51:11.84 ID:s4g30Du9.net

ちな、9991を素因数分解せよ。これも因数分解の式を利用して出来る。
9991＝10000‐９とも表現できる、また、10000‐９＝100^2-3^2
ここで、２乗の差の因数分解のしきから(100＋３)(100ー３)＝１０３×９７となる。

素数の見つけ方は、素因数分解の際にわる数を調べたい数の平方根まで調べる。
１０３と９７の場合、おのおのの一の位の数から、偶数ではないし、５の倍数でもない。
3の倍数であるかどうかは、その数の各位の数を足した値が3の倍数であるかどうか。
つまり7で割るだけ。７の倍数の判別方法もなくはないが。。。

554 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/21(木) 02:26:37.63 ID:s4g30Du9.net

「9991を素因数分解」の問題は、ある大学入試の過去問。

こうやって、考えると中学知識だけでも解ける。
ただ、素数の見つけ方のアプローチは、高校数学Aの整数の知識があるとすんなり行く。

高校数学Aの整数は、文部省の学習指導要領の現課程において新設された分野ではある。
次期過程からは、事実上の消滅となるだろう。

高校数学では、２０２２年以降さらに統計分野が充実してくるが、標準単位数は変わらない。
その分だけ、代数幾何は扱いが軽くなっている。

整数問題は、大学入試での出題は従前どおり続くと思われる。
一般の高校で履修されない、「数学A」の「数学と人間の活動」で軽く触れる程度にはなる。
「ユークリッドの互除法」と「記数法」がこの数学と人間の活動に移されている。
ただ、この単元を扱わない場合においても、必要に応じて学習させることができる。
また、授業などでax+by=c 型の2元1次不定方程式の整数解についても補完されるだろう。
ユークリッドの互除法や位取り記数法については、基本的なものは大学入試で出題される可能性がある。

この関連について、「数学B」の「数列」について、数学的帰納法によって整数に関する命題を証明する際、
別解として剰余類のような考え方を扱い、数学的な見方・考え方のよさを感じられるようにすると記された。
さらに、数学的帰納法に関しては、「理解する」という記述にとどまっていたが、今回の改訂では
「書き方を指導する」という表現が加わっている。

555 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/22(金) 01:44:41.44 ID:f9GhhKXn.net

ｘ^n＋ｙ^n＋ｚ^n=ｘｙｚを満たす、
n=1,ｘ≦ｙ≦ｚのとき自然数の組(ｘ,ｙ,ｚ)を全て求めよ.

とりま、ｘを１、ｙを２、ｚを３とでもおくかぁ。
足しても、掛けても６　(o^ｰ')b よっしゃ！　

実際、これで答えが出てしまうのだが。。。
これは、東大入試なので、論証しなければ点にならない。文系数学なのでこのような標準的な問題もある。
＜解答＞
n＝１、ｘ≦ｙ≦ｚから、ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｘｙｚ≦3ｚ
ｚは０でないことから、両辺をｚで約分して、ｘｙ≦３

よって、ｘ≦ｙより、x、yの組み合わせ候補は(ｘ,ｙ)=(１,１)、(１,２)、(１,３)・・・Aの３通りになる。
ここで、(ｘ,ｙ)がAを満たす時のZの値を
(ｘ,ｙ)=(１,１)のとき、２＋Z＝Zになり、不適である。
(ｘ,ｙ)=(１,２)のとき、３＋Z＝２Zより、Z=3
(ｘ,ｙ)=(１,３)のとき、４＋Z＝３Zになり、ｙ≦ｚより、不適である。

よって、x、y、ｚの組み合わせは(ｘ,ｙ,ｚ)=(１,２,３)のみ

掛け算のほうが足し算よりも大きくなりやすいため、これを利用した制約を考える。
ここから、ｘｙ≦３の条件が導かれる。

556 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/22(金) 01:59:12.31 ID:f9GhhKXn.net

nを正の整数とする。実数x,y,zに対する方程式
ｘ^n＋ｙ^n＋ｚ^n=ｘｙｚ‥�@を考える。
n=3のとき、�@を満たす正の実数の組(x, y, z)は存在しないことを示せ。

与式の左辺を因数分解できるように、両辺に-2xyzを足して、
x^3+y^3+z^3-3xyz=-2xyzーーーA
(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=-2xyzーーーB

ここで、x>0、y>0、z>0 より、x+y+z>0
x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx
=(1/2){2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2za}
=(1/2){(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)}
=(1/2){(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}≧0 なのでx^2+y^2+z^2-xy-yz-zx≧0

したがって、Bの左辺≧0、右辺＜0 なので、Bの等式が成り立つ正の実数の組(x,y,z)は存在しない。

557 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/23(土) 11:03:00.29 ID:yNluCj0w.net

ちな、9991を素因数分解せよ。これも因数分解の式を利用して出来る。
9991＝10000‐９とも表現できる。
また、因数分解の式に変形するために平方の差の形に変形する。
つまり、10000‐９＝100^2-3^2 となる。
ここで、２乗の差の因数分解のしきから100^2-3^2 ＝(100＋３)×(100ー３)＝１０３×９７となる。
１０３と９７はそれぞれ素数であるから、ここで終わり。

558 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/23(土) 11:08:20.06 ID:yNluCj0w.net

素数の見つけ方は、素因数分解の際にわる数を調べたい数の平方根まで調べる。
１０３と９７の場合、おのおのの一の位の数から、偶数ではないし、５の倍数でもない。
4,6,8,10の倍数は偶数である。

3の倍数であるかどうかは、その数の各位の数を足した値が3の倍数であるかどうか。
9の倍数は３の倍数である。
つまり、2〜10までの整数のうち、上記以外の残りである7で割るだけ。
７の倍数の判別方法もなくはないが、素直に7で割るほうが早く判別できる。

この9991の素因数分解の問題は、ある大学の入試過去問。
こうやって、考えると中学知識だけでも解ける。
ただ、素数の見つけ方のアプローチは、倍数の性質などを整理する高校数学Aの整数の知識があるとすんなり行く。

559 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/24(日) 04:08:45.84 ID:jC+ndSeo.net

北海道の公立入試数学は、裁量導入あたりから、模試や学力テストの問題も
難しくなっている傾向があったが、ここ数年は易化している。

今年は、ここ数年のなかでもさらに易しめになっている。
裁量含めて難問と言える問題がない。解法の糸口が見つけやすい問題が多く出題されている。

北海道の公立入試数学は、文章題が少なく、図形の問題が多い。
中学内容を限られた問題数で、まんべんなく出題するなら、必然的に図形が多くはなる。
図形の計量の問題って代数の知識も使う。関数や確率も図形と絡ませやすい。

というか、問題の文章量自体が少なく、段落や文自体も短く読解がしやすい。
受験という時間制約のキツイ試験のなかで、膨大な情報から取捨選択したうえで整理していく。
こうした、問題に触れる機会が少ない。

どちらかといえば、限られた情報から、これまでの経験やひらめきなどなら判断して
指示通りのアウトプットを出せよって感じだ。答えが一意に定まるだけの最低の条件は用意している。

560 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/24(日) 04:10:31.71 ID:jC+ndSeo.net

今年の整数問題で、問題文がわかりにくいという意見が多い。

縦・横・対角線のいずれの列についても、その列の数字の合計が同じになるという
数学算数ネタでよくある魔方陣の問題が出た。
この魔方陣は、中学入試算数で、真ん中の数は？　空欄は？などといった問題は出ている。
あるいは、中１数学の正負の数の期末試験の応用問題で、マイナスを含んだ数もいれたネタにもされる。

で、今回の北海道の高校入試では、「ますのある一列の数の和が、ますの中央の数の３倍」
であることの証明。何がやりたいのかがわかればすんなり行くが。

１列の和をa、ます中央をbとすると９つの合計は３a
また、ます中央を通るたて、よこ、対角線にあたるななめ×２の４列の合計は４aで
この４aは９つの数（３列分の数の和）+３bだから、１列の数の和＝ます中央の数×３だよね。
ってこれだけのこと。

561 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/24(日) 04:20:02.45 ID:jC+ndSeo.net

標準問題3、裁量問題2で出題された魔方陣に関する問題で

「ますのある一列の数の和が、ますの中央の数の３倍」ということは
一列の数の和をa、中央の数をｂと文字を二種類でおいて、a=３ｂだということを示す式ができるといい。
ます中央を通る列は、縦・横・対角線の４通りあって、これら４列の和が４aとなる。

これら４列の和って、ます全体の数の和より多いね。なぜなら、ます中央の数を４回足しているから。
ここから、ます全体の数の和をだすには、ます中央の数の数を３個分引く必要がある。

今回の魔方陣の問題は、文章量の多さによって、解くために必要な情報の整理が困難だというより、
言葉足らずで不親切だとは思う。

562 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/24(日) 04:21:03.69 ID:jC+ndSeo.net

数の「和の合計」とか、一列というカタマリの和なのか、複数列合わせてぞこに含まれる全部の数字の和
なのかを区別するための文章で表現が苦しいね。また、「これら」も「これら４つ」という表現の方が良かった。

ウのところで、何を入れたら良いかわからないという人もいたと思う。
いきなり「・・・の９つの和はイーウと表される」と書かれていて、イーウの立式の根拠を示す文がない。
単に、自分が受験生として解答する立場なら書く必要もない。
今回は穴埋めで、解答の指針を示す側と単項式を記載する側が一致しない。

これが、仕事などの指示ならば、指示側の情報が不足しているということになる。
一般的な受け手が理解できないという状況だ。

というかこの問題の解答の表現が難しい部分はある。
入試問題なので、受け手である受験生側もある程度を考えさせる必要もある。
詳細に書きすぎると簡単になってしまう。一文を単項式に置き換えるだけの問題になる。

563 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/24(日) 05:30:23.97 ID:jC+ndSeo.net

道教委は、数学問題ではSPIでいうところの非言語能力の確認に重点を置きたいのだろう。

一般に入試という時間制約のキツイ試験のなかで、膨大な文章という情報から
取捨選択したうえで整理して論理的に判断や説明できる能力は、国語の論説文でも確認できる。

ただ、近年、北海道の入試数学においても、文章量も増える傾向はある。

数学においても、実学が重視されてくるなかで、かつて、ほとんどでなかった。
統計分野の問題比率も大きくなっている。日常に絡んだネタも出やすいので、解説が必要になってくる。

整数問題も毎年出るようになった。ここも、かつてはほとんどでなかった。
高校で、整数問題が指導要領に明記されたことも大きい。
ここは、解説が必要なネタも多く、それに穴埋め形式なのでそれなりに文章量も必要になる。

564 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/24(日) 05:46:29.90 ID:jC+ndSeo.net

全国学テBの問題でも、日常生活についてのネタがある。
北海道は、一次関数の利用の分野から文章題ってあまりでない。
一次関数は、図形の問題のツールで使うケースが多い。
方程式を立てて解く問題ですら、図形の問題になっていることもある。

それに、携帯電話のプランなど、時間と料金などの表とか、日常的な表などからのアプローチがない。
日常的なアプローチからそれらの変化や対応を表や式、グラフを使って調べることを通して、
関数の特徴を考察し説明することができる。

ちな、北海道で、単に学テBといったら中３が学校でやる高校入試の模擬試験をさす。
計３回あり、受験時期の早い方から順にA,B,Cテストと言われる。内申と同様に志望校判定に利用される。

565 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/24(日) 05:46:40.39 ID:jC+ndSeo.net

大学入試は、問題文自体が短文であることがおおいが。。。
センターは、空欄補充形式で、論理の展開などは全て問題側が行い、受験生はそれに合わせて計算するという形だ。
大問ごと、さらには分野ごとのポイント・パターンが明確であるが、時間制約が厳しい。

受験は効率の良さが大事であり、いちいち厳密な証明を気にしていては受験勉強がはかどらないのも事実である。
二次では、自分で渡り方まで考えなければならない。

566 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/25(月) 01:02:44.53 ID:X1IX5x0m.net

ネットが普及して20年、このネットのおかげでデータ収集が以前より楽になった現在、
そのデータをどう活用するかが肝になってくるのは当然ともいえる。

ここ数年、オープンデータやビッグデータなど、IT化の進展とともにそれまで以上に
さまざまな数字が扱われる。こうした中で、数学教育にも統計分野が強化されてきている。

国際的に見て探求型、問題解決型の教育から20年以上出遅れた。
今回はその遅れを挽回することを目指した理数教育を重視した改訂となっている。

そもそも、データの見方云々の前に知ってくべきことってある。
統計の捏造ではないけれども、自分たちの都合のいいように数字を操作することもできる。
以下のプロセスにおいて操作が可能だ。
�@　サンプリング　�A　バラメータ設定　�B　結果の解釈　�C　グラフ化

567 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/25(月) 01:03:17.22 ID:X1IX5x0m.net

バラメータ設定について、たとえばアンケート結果の設問についても優位な方に誘導できてしまう。
また、誘導質問は回答傾向を歪めてしまうこともあり、調査結果の信頼性を下げる。
たとえば（実際はこんな露骨なアンケートはやってない）、
「1000億円以上の建設費がかかり、市負担もかなり大きい。市民の税金負担が莫大になる」
都心アクセス道路建設に賛成か？反対か？って明らかに反対に誘導している。

結果の解釈について、「たとえば」、市長支持率が支持が３９％、不支持が２３％で、
どちらでもないが多数だった場合に、「市長支持率が４割弱で、のこり６割強は支持を示さなかった」。
って発表した場合、不支持の方が多いという印象を与えてしまう。

グラフ化する場合、「たとえば」、円グラフで、１０歳刻みのデータで、絶対数比較なのに
１０代と２０代だけをひとまとめにして、若者のひきこもりが多い！外出しない人が多い！

ツールをオンライン上で公開することでその上で動作するテンプレートを開発し、
公開する人が出てくるはず。そうなればだれもが政府の現状を理解できるようになる。
権力者が情報操作しにくくなるし、社会はよくなるはず。

568 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/25(月) 01:04:01.08 ID:X1IX5x0m.net

サンプリングって、無作為に選ぶだけではダメだ。
しかし、実際には集計データに対しても推定や検定が行わている。
高校数学において「仮説検定」や「区間推定」が実質数Bのベクトルの代わりになり、
文理ともに実質必修化される。ベクトルは数Cという理系専用科目に移動する。

これは、集計データには、いろいろな説明変数を使っても説明できない様々なノイズが
入り込んでいると想定しているからである。
その地域に住んでいる平均身長を、地域に住んでいる人に調査するさいに、
オランダ人やデンマーク人の分だけ上方バイアスが生じる可能性がある。

569 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/27(水) 00:44:56.89 ID:13LIiOx4.net

標準問題3、裁量問題2で出題された魔方陣に関する
「ますのある一列の数の和が、ますの中央の数の３倍」の証明の穴埋め問題で
証明の解答の文章がわかりにくいという意見も目立つ件。

その一つであろう、イーウの立式の根拠を示す文がないというところ。
これを記述したところで、単に文章を単項式に置き換えるという作業になってしまう。

入試問題なので、受け手である受験生側も、この証明のいとするところをを理解し、
この空欄部分に入れるべき式を考えさせて記入してもらう必要もある。

まぁ、理解できなくとも、結論につながるaとbの関係式が明記されてるので、
ア、イの式がわかれば、そこからの逆展開から導くことはできる。

570 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/27(水) 01:07:39.37 ID:13LIiOx4.net

中学の定期試験や高校入試では、図形の証明を記述をしようとする。
たとえば、合同や相似のいずれか一つの条件を満たすような
2ないし3つの各要素を記入する際に、単にAB=ACとは記述しないばずだ。

なぜ、AB=ACだといえるのか、その根拠を示す文を示さないと減点になる。
たとえば、AB=AC「二等辺三角形の底角が等しいので、AB=AC」などと記載する。

そこから考えると、今回の魔方陣に関する証明文は、上の例でいうと
上の「」の二等辺三角形の例で言うと、いきなり　AB=AC　だと言っているようなものである。

まぁ、a、ｂの定義についての宣言があり、この空欄（ウ）の初出の段落に
ｂについての定義を述べていて、その他でｂの式の記述がないことから、
ｂを使った式が入ることはわかる。

571 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/27(水) 01:13:50.12 ID:13LIiOx4.net

中学の定期試験や高校入試で、図形の証明を記述をしようとする。
たとえば、合同や相似のいずれか一つの条件を満たすような2ないし3つの各要素を記入する際に、
単にAB=ACとは記述しないばずだ。

中学の定期試験や高校入試では、なぜ、AB=ACだといえるのか、その根拠を示す文を示さないと減点になる。
たとえば、「二等辺三角形の底角が等しいので、AB=AC」などと記載する。

そこから考えると、今回の北海道の高校入試数学の魔方陣に関する証明文は、上の例でいうと
上の「」の二等辺三角形の例で言うと、いきなり　AB=AC　だと言っているようなものである。

まぁ、a、ｂの定義についての宣言があり、この空欄（ウ）の初出の段落に
ｂについての定義を述べていて、その他でｂの式の記述がないことから、
ｂを使った式が入ることはわかる。

572 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/27(水) 02:08:48.08 ID:13LIiOx4.net

北海道の高校入試は、易しめの問題が多い。

なぜなら、地域格差も大きいなかで、基礎問題を多めにしないと学力が低い地域での
受験者の選抜や理解度の確認ができないからだ。
そうなると、進学校受験者はみんな高得点になるので、ケアレスミスの有無で合否が決まるようになる。
発展的問題での実力試しもできない。
そこで、点数差がつきにくい進学校とその他とで、一部試験内容を変えることになった。

また、数学においては、他の科目よりも平均点が低くなりやすい。
しかし、数学は得意になれば高得点が期待できる科目だ。

5科目の合計で合否を決める試験なので、教科間のバラつきが大きいと、
他の科目よりも平均点が低い、ある特定の科目が得意な子が有利となってしまう。
数学の難易度を落とすことで、他教科とのバランスをとりたかったのだろう。

573 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/27(水) 02:09:55.70 ID:13LIiOx4.net

かつて、数学の試験問題が全道一律の時代に、複数分野との融合などの発展的問題や
パズル的問題を増やして数学の平均点が４割切ってた時代もあった。
いまの進学校でやる裁量に近い問題を全道一律でやっていた。

そのやさしい北海道の数学においても、証明問題は全国と比べても難しい方にはなる。
進学校受験者にとって、証明問題は融合問題とあわせ、数少ない実力試しの問題の位置づけだったと思う。
その名残であるかのようにも思えるが、証明問題は、裁量以外の標準問題にも含まれる。
全道一律の時代も、いまの裁量と同様大問５は、融合問題だった。

道民感覚で、証明の易しい県の証明問題をやると拍子抜けする人もいるだろう。
三段論法を使わずに、合同や相似を示すためのすべての要素が直接見つかったり、
穴埋め形式になっている。こうしたところは、複数の分野からの融合での計量問題のほうが難しい。
北海道の場合、三段論法を含む問題が必ず出て、その部分が４段になっていたり、
多項式になっている。苦手意識を持ちやすい子も多い。

574 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/03/27(水) 02:16:17.05 ID:13LIiOx4.net

証明が簡単な県は、証明をあえて簡単にすることで、多くの人に取り組んで欲しいという意図はあるだろう。
難易度を上げると、捨て問にされる。

証明は、高校に入ると割と重要になってくる分野だ。中学のうちは形式的でテンプレ化されていると言える。
整数問題や求積問題などでも、形式にとらわれない論証が必要となってくる。
二次試験では、論証できないと点数にはならない。式を羅列しただけでは、ほとんど点にならない。
数式だけでなく、出来る限り日本語で説明をしておく。

難易度の高い問題は入試だけでなく、資格試験などでも捨て問となることが多い。
まぁ、政治家もよくやってることだろう。この日本にも、近い将来重要になる難問が多くある。

全体を俯瞰でき、取捨選択できる能力も実力のうちである。

難問一題に固執するより、基本問題複数を確実にやるほうが点数になる。
受験は、エレガントな解答ができるよりも、時間制約がある中で多くの問題を正確に処理できるほうが勝つ。

優先順位や着手の難易度をつけ判断し、そこからアクションを起こすあるいは、
その糸口をつくりだすことは社会人では必須のスキルでもある。